与えられた無限級数 $2 + \frac{2}{1+2} + \frac{2}{1+2+3} + \dots + \frac{2}{1+2+3+\dots+n} + \dots$ の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求めます。

1. 問題の内容

与えられた無限級数 $2 + \frac{2}{1+2} + \frac{2}{1+2+3} + \dots + \frac{2}{1+2+3+\dots+n} + \dots$ の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求めます。

2. 解き方の手順

まず、一般項を求めます。第$n$項は $\frac{2}{1+2+3+\dots+n}$ であり、分母は1から$n$までの和なので、$\frac{n(n+1)}{2}$と表せます。したがって、第$n$項は $\frac{2}{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{4}{n(n+1)}$ となります。

ただし、最初の項は2なので、数列は、$2, \frac{4}{2}, \frac{4}{6}, \dots, \frac{4}{n(n+1)}, \dots$　となります。

この数列の和を求めるために、$n \ge 2$ における部分和を考えます。

$\frac{4}{n(n+1)}$ を部分分数分解すると、

$\frac{4}{n(n+1)} = 4(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$ となります。

したがって、部分和 $S_N$ は、

$S_N = 2 + \sum_{n=2}^{N} \frac{4}{n(n+1)} = 2 + \sum_{n=2}^{N} 4(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$

$S_N = 2 + 4 \sum_{n=2}^{N} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) = 2 + 4[(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{N} - \frac{1}{N+1})]$

$S_N = 2 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{1}{N+1}) = 2 + 2 - \frac{4}{N+1} = 4 - \frac{4}{N+1}$

ここで、$N \to \infty$ の極限を考えると、

$\lim_{N \to \infty} S_N = \lim_{N \to \infty} (4 - \frac{4}{N+1}) = 4 - 0 = 4$

したがって、無限級数は収束し、その和は4です。

3. 最終的な答え

収束し、和は4