与えられた定積分の計算問題です。 与えられた式は以下の通りです。 $\int_{-1}^{2} (12x^2+7) dx + \int_{5}^{2} (12x^2+7) dx - \int_{3}^{2} (12x^2+7) dx - \int_{5}^{3} (12x^2+7) dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分の計算問題です。

与えられた式は以下の通りです。

$\int_{-1}^{2} (12x^2+7) dx + \int_{5}^{2} (12x^2+7) dx - \int_{3}^{2} (12x^2+7) dx - \int_{5}^{3} (12x^2+7) dx$

2. 解き方の手順

まず、積分を分配します。

$\int_{-1}^{2} (12x^2+7) dx + \int_{5}^{2} (12x^2+7) dx - \int_{3}^{2} (12x^2+7) dx - \int_{5}^{3} (12x^2+7) dx = \int_{-1}^{2} (12x^2+7) dx + \int_{5}^{2} (12x^2+7) dx + \int_{2}^{3} (12x^2+7) dx + \int_{3}^{5} (12x^2+7) dx$

積分区間を結合します。

$\int_{-1}^{2} (12x^2+7) dx + \int_{5}^{2} (12x^2+7) dx - \int_{3}^{2} (12x^2+7) dx - \int_{5}^{3} (12x^2+7) dx = \int_{-1}^{2} (12x^2+7) dx + \int_{2}^{3} (12x^2+7) dx + \int_{3}^{5} (12x^2+7) dx + \int_{5}^{2} (12x^2+7) dx = \int_{-1}^{2} (12x^2+7) dx + \int_{2}^{5} (12x^2+7) dx + \int_{5}^{2} (12x^2+7) dx$

$=\int_{-1}^{2} (12x^2+7) dx + \int_{2}^{5} (12x^2+7) dx - \int_{2}^{5} (12x^2+7) dx = \int_{-1}^{5} (12x^2+7) dx - \int_{2}^{5} (12x^2+7) dx$

$= \int_{-1}^{2} (12x^2 + 7) dx$

$= \int_{-1}^{2} (12x^2+7) dx + \int_{2}^{3} (12x^2+7) dx + \int_{3}^{5} (12x^2+7) dx - \int_{2}^{3} (12x^2+7) dx - \int_{3}^{5} (12x^2+7) dx = \int_{-1}^{2} (12x^2+7) dx$

次に、不定積分を求めます。

$\int (12x^2+7) dx = 12 \cdot \frac{x^3}{3} + 7x + C = 4x^3 + 7x + C$

定積分を計算します。

$\int_{-1}^{2} (12x^2+7) dx = [4x^3+7x]_{-1}^{2} = (4(2^3)+7(2)) - (4(-1)^3+7(-1)) = (4(8)+14) - (4(-1)-7) = (32+14) - (-4-7) = 46 - (-11) = 46 + 11 = 57$

3. 最終的な答え

57