4点 O(0,0), P(3,0), Q(2.5,2), R(0.5,2) を頂点とする台形の左回りの周 C に沿った線積分 $\oint_C (2x+5y+20)dx + (3x+2y+10)dy$ を求めます。

1. 問題の内容

4点 O(0,0), P(3,0), Q(2.5,2), R(0.5,2) を頂点とする台形の左回りの周 C に沿った線積分 $\oint_C (2x+5y+20)dx + (3x+2y+10)dy$ を求めます。

2. 解き方の手順

この線積分を計算するために、グリーンの定理を使用します。グリーンの定理は、次の式で表されます。

$\oint_C P dx + Q dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA$

ここで、$C$ は領域 $D$ の境界であり、$P$ と $Q$ は $x$ と $y$ の関数です。

この問題では、$P = 2x + 5y + 20$、$Q = 3x + 2y + 10$ です。まず、偏導関数を計算します。

$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3x + 2y + 10) = 3$

$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2x + 5y + 20) = 5$

したがって、

$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 3 - 5 = -2$

グリーンの定理を適用すると、線積分は次の二重積分に変換されます。

$\oint_C (2x+5y+20)dx + (3x+2y+10)dy = \iint_D (-2) dA = -2 \iint_D dA$

ここで $\iint_D dA$ は台形の面積を表します。台形の面積は、上底と下底の長さの平均に高さを掛けたものです。

下底の長さは $OP = 3$ です。上底の長さは $RQ = 2.5 - 0.5 = 2$ です。高さは $2$ です。したがって、台形の面積は

$\frac{3 + 2}{2} \times 2 = 5$

したがって、二重積分は

$\iint_D dA = 5$

よって、線積分は

$\oint_C (2x+5y+20)dx + (3x+2y+10)dy = -2 \times 5 = -10$

3. 最終的な答え

-10