以下の4つの式について、分母を有理化します。 (1) $\frac{18}{\sqrt{6}}$ (2) $\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$ (3) $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$ (4) $\frac{3\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$

はい、承知いたしました。与えられた問題を解き、分母を有理化します。

1. 問題の内容

以下の4つの式について、分母を有理化します。

(1) $\frac{18}{\sqrt{6}}$

(2) $\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$

(3) $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$

(4) $\frac{3\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{18}{\sqrt{6}}$

分母と分子に$\sqrt{6}$をかけます。

$\frac{18}{\sqrt{6}} = \frac{18 \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{18\sqrt{6}}{6} = 3\sqrt{6}$

(2) $\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$

分母の共役である$2-\sqrt{3}$を分母と分子にかけます。

$\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} \times (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3}) \times (2-\sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{3} - 3}{4 - 3} = 2\sqrt{3} - 3$

(3) $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$

分母の共役である$\sqrt{5}+\sqrt{2}$を分母と分子にかけます。

$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{2}) \times (\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2}) \times (\sqrt{5}+\sqrt{2})} = \frac{5 + 2\sqrt{10} + 2}{5 - 2} = \frac{7 + 2\sqrt{10}}{3}$

(4) $\frac{3\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$

分母の共役である$\sqrt{7}-\sqrt{3}$を分母と分子にかけます。

$\frac{3\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{(3\sqrt{7}-\sqrt{3}) \times (\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3}) \times (\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{21 - 3\sqrt{21} - \sqrt{21} + 3}{7 - 3} = \frac{24 - 4\sqrt{21}}{4} = 6 - \sqrt{21}$

3. 最終的な答え

(1) $3\sqrt{6}$

(2) $2\sqrt{3} - 3$

(3) $\frac{7 + 2\sqrt{10}}{3}$

(4) $6 - \sqrt{21}$