関数 $f(x) = \frac{x}{(x-2)^2}$ について、$x \to 2+0$, $x \to 2-0$, $x \to 2$ のときの極限をそれぞれ調べる。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x}{(x-2)^2}$ について、$x \to 2+0$, $x \to 2-0$, $x \to 2$ のときの極限をそれぞれ調べる。

2. 解き方の手順

まず、$x \to 2+0$ のときの極限を考える。$x$ が $2$ より大きい値から $2$ に近づくとき、$x-2$ は正の値をとりながら $0$ に近づく。したがって、$(x-2)^2$ も正の値をとりながら $0$ に近づく。分子 $x$ は $2$ に近づくので、$\frac{x}{(x-2)^2}$ は正の無限大に発散する。

次に、$x \to 2-0$ のときの極限を考える。$x$ が $2$ より小さい値から $2$ に近づくとき、$x-2$ は負の値をとりながら $0$ に近づく。しかし、$(x-2)^2$ は正の値をとりながら $0$ に近づく。分子 $x$ は $2$ に近づくので、$\frac{x}{(x-2)^2}$ は正の無限大に発散する。

最後に、$x \to 2$ のときの極限を考える。$x \to 2+0$ でも $x \to 2-0$ でも $\frac{x}{(x-2)^2}$ は正の無限大に発散するので、$x \to 2$ のときも正の無限大に発散する。

3. 最終的な答え

$x \to 2+0$ のとき、$\lim_{x \to 2+0} \frac{x}{(x-2)^2} = +\infty$

$x \to 2-0$ のとき、$\lim_{x \to 2-0} \frac{x}{(x-2)^2} = +\infty$

$x \to 2$ のとき、$\lim_{x \to 2} \frac{x}{(x-2)^2} = +\infty$