定積分 $\int_{1}^{3} (60x^2 - 40x + 10) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{3} (60x^2 - 40x + 10) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $60x^2 - 40x + 10$ の不定積分を求めます。

不定積分の公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用いると、

$\int (60x^2 - 40x + 10) dx = 60\int x^2 dx - 40\int x dx + 10\int dx$

$= 60\cdot\frac{x^3}{3} - 40\cdot\frac{x^2}{2} + 10x + C$

$= 20x^3 - 20x^2 + 10x + C$

となります。

次に、求めた不定積分を用いて定積分の値を計算します。

$\int_{1}^{3} (60x^2 - 40x + 10) dx = [20x^3 - 20x^2 + 10x]_{1}^{3}$

$= (20(3)^3 - 20(3)^2 + 10(3)) - (20(1)^3 - 20(1)^2 + 10(1))$

$= (20(27) - 20(9) + 30) - (20 - 20 + 10)$

$= (540 - 180 + 30) - 10$

$= 390 - 10$

$= 380$

3. 最終的な答え

380