$0 < a < b$ として、2つの数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ を以下のように定めます。 $a_1 = a, b_1 = b$ $a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}$, $b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}$ このとき、2つの数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が同じ値に収束することを示し、その値を $a, b$ の算術幾何平均と呼びます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

$0 < a < b$ として、2つの数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ を以下のように定めます。

$a_1 = a, b_1 = b$

$a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}$, $b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}$

このとき、2つの数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が同じ値に収束することを示し、その値を $a, b$ の算術幾何平均と呼びます。

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の各項が常に正であること、および、$a_n < b_n$ が成り立つことを数学的帰納法で示します。

初期条件: $a_1 = a > 0$ かつ $b_1 = b > 0$ であり、$a_1 < b_1$ (なぜなら $0 < a < b$) が成り立ちます。

帰納法の仮定: ある $n$ について、$a_n > 0$ かつ $b_n > 0$ であり、$a_n < b_n$ が成り立つと仮定します。

帰納ステップ:

$a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}$ であるから、$a_{n+1} > 0$ が成り立ちます。

$b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}$ であるから、$b_{n+1} > 0$ が成り立ちます。

また、$a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n} < \frac{a_n + b_n}{2} = b_{n+1}$ (相加相乗平均の関係) が成り立ちます。等号成立は$a_n = b_n$のときのみです。

したがって、すべての $n$ について、$a_n > 0$, $b_n > 0$ かつ $a_n < b_n$ が成り立ちます。

(2) 数列 $\{a_n\}$ が単調増加数列であり、数列 $\{b_n\}$ が単調減少数列であることを示します。

$a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n} > \sqrt{a_n a_n} = a_n$ より、$\{a_n\}$ は単調増加数列です。

$b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2} < \frac{b_n + b_n}{2} = b_n$ より、$\{b_n\}$ は単調減少数列です。

(3) 数列 $\{a_n\}$ が上に有界であり、数列 $\{b_n\}$ が下に有界であることを示します。

$\{a_n\}$ は単調増加であり、$a_n < b_n \le b_1 = b$ より、 $\{a_n\}$ は上に有界です。

$\{b_n\}$ は単調減少であり、$b_n > a_n \ge a_1 = a$ より、 $\{b_n\}$ は下に有界です。

(4) 単調増加で上に有界な数列と、単調減少で下に有界な数列は収束するので、$\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ はそれぞれ収束します。

$a_n \to \alpha$ かつ $b_n \to \beta$ とします。

$b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}$ で $n \to \infty$ とすると、$\beta = \frac{\alpha + \beta}{2}$ となります。

よって、$\beta = \alpha$ となります。したがって、$\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ は同じ値に収束します。

3. 最終的な答え

数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は同じ値に収束し、その極限値は$a, b$の算術幾何平均です。

収束値の具体的な値は初項の$a$と$b$の値によって決まるため、$a$と$b$を用いて表す必要がありますが、初等関数では表せない場合があります。しかし、楕円積分などを用いて表現できます。