三角関数の合成の問題です。与えられた関数 $y = \sin(x + \frac{\pi}{6}) + \sqrt{3} \cos(x - \frac{\pi}{6})$ を $y = \sqrt{[ケ]} \cos(x - \tan^{-1} \frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]})$ の形に変形し、[ケ]、[コ]、[サ]に当てはまる数字を答えます。

1. 問題の内容

三角関数の合成の問題です。与えられた関数 $y = \sin(x + \frac{\pi}{6}) + \sqrt{3} \cos(x - \frac{\pi}{6})$ を $y = \sqrt{[ケ]} \cos(x - \tan^{-1} \frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]})$ の形に変形し、[ケ]、[コ]、[サ]に当てはまる数字を答えます。

2. 解き方の手順

まず、$y = \sin(x + \frac{\pi}{6}) + \sqrt{3} \cos(x - \frac{\pi}{6})$ を加法定理を用いて展開します。

$\sin(x + \frac{\pi}{6}) = \sin x \cos \frac{\pi}{6} + \cos x \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x$

$\cos(x - \frac{\pi}{6}) = \cos x \cos \frac{\pi}{6} + \sin x \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x$

したがって、

$y = (\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x) + \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x)$

$y = (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) \sin x + (\frac{1}{2} + \frac{3}{2}) \cos x$

$y = \sqrt{3} \sin x + 2 \cos x$

次に、三角関数の合成を行います。

$y = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 2^2} \cos(x - \alpha) = \sqrt{3 + 4} \cos(x - \alpha) = \sqrt{7} \cos(x - \alpha)$

ただし、$\tan \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

したがって、$y = \sqrt{7} \cos(x - \tan^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2})$ となります。

よって、[ケ] = 7, [コ] = 3, [サ] = 2 となります。

3. 最終的な答え

[ケ] = 7

[コ] = 3

[サ] = 2