与えられた式 $y = 3\sin x + \cos x$ を、$y = \sqrt{\text{ア}} \sin(x + \tan^{-1}(\frac{\text{イ}}{\text{ウ}}))$ の形に変形し、ア、イ、ウに入る適切な整数値を求める問題です。ただし、$\sqrt{\text{ア}} > 0$ であり、$-\pi < \tan^{-1}(\frac{\text{イ}}{\text{ウ}}) \le \pi$、分数の場合は分母が正の既約分数とします。また、0や1になる場合も省略せず入力する必要があります。

1. 問題の内容

与えられた式 $y = 3\sin x + \cos x$ を、$y = \sqrt{\text{ア}} \sin(x + \tan^{-1}(\frac{\text{イ}}{\text{ウ}}))$ の形に変形し、ア、イ、ウに入る適切な整数値を求める問題です。ただし、$\sqrt{\text{ア}} > 0$ であり、$-\pi < \tan^{-1}(\frac{\text{イ}}{\text{ウ}}) \le \pi$、分数の場合は分母が正の既約分数とします。また、0や1になる場合も省略せず入力する必要があります。

2. 解き方の手順

三角関数の合成公式を利用します。

$a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x + \alpha)$,

ここで、$\cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$、$\sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ となります。

この問題では、$a = 3$, $b = 1$ なので、

$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$。

したがって、

$3\sin x + \cos x = \sqrt{10} \sin(x + \alpha)$

ここで、$\cos\alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}$, $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$ である。

この時、$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1/ \sqrt{10}}{3/\sqrt{10}} = \frac{1}{3}$。

$\alpha = \tan^{-1}(\frac{1}{3})$.

$-\pi < \tan^{-1}(\frac{1}{3}) \le \pi$ は条件を満たしています。

よって、$3\sin x + \cos x = \sqrt{10} \sin(x + \tan^{-1}(\frac{1}{3}))$ となります。

3. 最終的な答え

ア = 10

イ = 1

ウ = 3