定積分 $\int_{1}^{4} (2x^2+2x) dx - \int_{1}^{4} (8x^2+7) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{4} (2x^2+2x) dx - \int_{1}^{4} (8x^2+7) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、2つの積分を1つの積分にまとめます。

$\int_{1}^{4} (2x^2+2x) dx - \int_{1}^{4} (8x^2+7) dx = \int_{1}^{4} [(2x^2+2x) - (8x^2+7)] dx$

被積分関数を整理します。

$\int_{1}^{4} (2x^2+2x - 8x^2 - 7) dx = \int_{1}^{4} (-6x^2 + 2x - 7) dx$

次に、不定積分を求めます。

$\int (-6x^2 + 2x - 7) dx = -6 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 7x + C = -2x^3 + x^2 - 7x + C$

定積分を計算します。

$\int_{1}^{4} (-6x^2 + 2x - 7) dx = [-2x^3 + x^2 - 7x]_{1}^{4}$

$(-2(4)^3 + (4)^2 - 7(4)) - (-2(1)^3 + (1)^2 - 7(1)) = (-2(64) + 16 - 28) - (-2 + 1 - 7) = (-128 + 16 - 28) - (-8) = (-140) - (-8) = -140 + 8 = -132$

3. 最終的な答え

-132