定積分 $\int_{1}^{3} (30x^2 - 20x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{3} (30x^2 - 20x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を積分します。

$\int (30x^2 - 20x) dx = 30 \int x^2 dx - 20 \int x dx = 30 \cdot \frac{x^3}{3} - 20 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 10x^3 - 10x^2 + C$

ここで、$C$は積分定数です。

次に、定積分の定義に従って、積分結果に積分区間の上限と下限を代入し、その差を計算します。

$\int_{1}^{3} (30x^2 - 20x) dx = [10x^3 - 10x^2]_{1}^{3} = (10(3)^3 - 10(3)^2) - (10(1)^3 - 10(1)^2)$

$= (10 \cdot 27 - 10 \cdot 9) - (10 \cdot 1 - 10 \cdot 1) = (270 - 90) - (10 - 10) = 180 - 0 = 180$

3. 最終的な答え

180