定積分 $\int_{\sqrt{3}}^{2} \sqrt{4-x^2} dx$ を計算し、$\frac{\text{ア}}{\text{イ}}\pi - \frac{\sqrt{\text{ウ}}}{\text{エ}}$ の形で表したときの ア、イ、ウ、エ に当てはまる数字を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{\sqrt{3}}^{2} \sqrt{4-x^2} dx$ を計算し、$\frac{\text{ア}}{\text{イ}}\pi - \frac{\sqrt{\text{ウ}}}{\text{エ}}$ の形で表したときの ア、イ、ウ、エ に当てはまる数字を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x = 2\sin\theta$ と置換します。すると、$dx = 2\cos\theta d\theta$ となり、積分範囲は $x = \sqrt{3}$ のとき $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より $\theta = \frac{\pi}{3}$、$x = 2$ のとき $\sin\theta = 1$ より $\theta = \frac{\pi}{2}$ となります。

また、$\sqrt{4-x^2} = \sqrt{4 - 4\sin^2\theta} = \sqrt{4(1-\sin^2\theta)} = 2\cos\theta$ となります。

したがって、

\begin{align*} \label{eq:1} \int_{\sqrt{3}}^{2} \sqrt{4-x^2} dx &= \int_{\pi/3}^{\pi/2} (2\cos\theta)(2\cos\theta) d\theta \\ &= 4 \int_{\pi/3}^{\pi/2} \cos^2\theta d\theta \\ &= 4 \int_{\pi/3}^{\pi/2} \frac{1+\cos(2\theta)}{2} d\theta \\ &= 2 \int_{\pi/3}^{\pi/2} (1+\cos(2\theta)) d\theta \\ &= 2 \left[ \theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta) \right]_{\pi/3}^{\pi/2} \\ &= 2 \left[ (\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(\pi)) - (\frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}\sin(\frac{2\pi}{3})) \right] \\ &= 2 \left[ (\frac{\pi}{2} + 0) - (\frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}) \right] \\ &= 2 \left[ \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right] \\ &= 2 \left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right] \\ &= \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\end{align*}

したがって、$\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

ア = 1

イ = 3

ウ = 3

エ = 2