定積分 $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2-4} dx$ を計算し、$-\frac{\log オ}{カ}$ の形で表す問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2-4} dx$ を計算し、$-\frac{\log オ}{カ}$ の形で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $\frac{1}{x^2-4}$ を部分分数分解します。

$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ より、

$\frac{1}{x^2-4} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2}$ とおきます。

両辺に $(x-2)(x+2)$ を掛けると、

$1 = A(x+2) + B(x-2)$ となります。

$x=2$ のとき、$1 = A(2+2) + B(2-2) = 4A$ なので、$A = \frac{1}{4}$

$x=-2$ のとき、$1 = A(-2+2) + B(-2-2) = -4B$ なので、$B = -\frac{1}{4}$

したがって、$\frac{1}{x^2-4} = \frac{1}{4(x-2)} - \frac{1}{4(x+2)}$ となります。

次に、積分を計算します。

$\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2-4} dx = \int_{-1}^{1} (\frac{1}{4(x-2)} - \frac{1}{4(x+2)}) dx$

$= \frac{1}{4} \int_{-1}^{1} (\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2}) dx$

$= \frac{1}{4} [\log|x-2| - \log|x+2|]_{-1}^{1}$

$= \frac{1}{4} [\log|\frac{x-2}{x+2}|]_{-1}^{1}$

$= \frac{1}{4} (\log|\frac{1-2}{1+2}| - \log|\frac{-1-2}{-1+2}|)$

$= \frac{1}{4} (\log|\frac{-1}{3}| - \log|\frac{-3}{1}|)$

$= \frac{1}{4} (\log(\frac{1}{3}) - \log(3))$

$= \frac{1}{4} (\log(\frac{1}{3}) - \log(3))$

$= \frac{1}{4} (\log(1) - \log(3) - \log(3))$

$= \frac{1}{4} (0 - 2\log(3))$

$= -\frac{1}{2} \log(3)$

与えられた形は $-\frac{\log オ}{カ}$ なので、$オ = 3$、$カ = 2$ です。

3. 最終的な答え

オ = 3

カ = 2