(1) 曲線 $y = x^3 - ax^2$ (a は正の定数)において、接線の傾きが $-a$ となる点がただ1つしか存在しないとき、$a$ の値を求めよ。また、このとき、この点における接線の方程式を求めよ。 (2) 2つの放物線 $y = x^2 + ax + a$ と $y = -2x^2 + x + 1$ が点 A を共有し、その点で共通な接線をもつとき、点 A の座標を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 曲線 $y = x^3 - ax^2$ (a は正の定数)において、接線の傾きが $-a$ となる点がただ1つしか存在しないとき、$a$ の値を求めよ。また、このとき、この点における接線の方程式を求めよ。

(2) 2つの放物線 $y = x^2 + ax + a$ と $y = -2x^2 + x + 1$ が点 A を共有し、その点で共通な接線をもつとき、点 A の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = x^3 - ax^2$ を微分して、接線の傾きを求める。

$y' = 3x^2 - 2ax$

接線の傾きが $-a$ となる点を求めるので、

$3x^2 - 2ax = -a$

$3x^2 - 2ax + a = 0$

この2次方程式の解がただ1つである条件は、判別式 $D = 0$ であること。

$D = (-2a)^2 - 4(3)(a) = 4a^2 - 12a = 4a(a - 3) = 0$

$a$ は正の定数なので、$a = 3$

このとき、$3x^2 - 6x + 3 = 0$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x - 1)^2 = 0$

$x = 1$

$x = 1$ のとき、$y = 1^3 - 3(1^2) = 1 - 3 = -2$

接点は $(1, -2)$

接線の方程式は、$y - (-2) = -3(x - 1)$

$y + 2 = -3x + 3$

$y = -3x + 1$

(2)

2つの放物線が点Aを共有するので、その点の $x$ 座標を $t$ とすると、

$t^2 + at + a = -2t^2 + t + 1$

$3t^2 + (a - 1)t + (a - 1) = 0$ (1)

2つの放物線の導関数をそれぞれ計算する。

$y' = 2x + a$

$y' = -4x + 1$

点Aで共通の接線を持つので、接線の傾きが等しい。

$2t + a = -4t + 1$

$6t = 1 - a$

$t = \frac{1 - a}{6}$ (2)

(2)を(1)に代入する。

$3(\frac{1 - a}{6})^2 + (a - 1)(\frac{1 - a}{6}) + (a - 1) = 0$

$\frac{3(1 - a)^2}{36} + \frac{(a - 1)^2}{-6} + (a - 1) = 0$

$\frac{(1 - a)^2}{12} - \frac{2(a - 1)^2}{12} + \frac{12(a - 1)}{12} = 0$

$(1 - a)^2 - 2(a - 1)^2 + 12(a - 1) = 0$

$(a - 1)^2(-1) + 12(a - 1) = 0$

$-(a - 1)^2 + 12(a - 1) = 0$

$(a - 1)(-a + 1 + 12) = 0$

$(a - 1)(-a + 13) = 0$

$a = 1$ または $a = 13$

$a = 1$ のとき、$t = 0$

$a = 13$ のとき、$t = \frac{1 - 13}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

$a = 1$ のとき、$y = x^2 + x + 1$ に代入して、$y = 0^2 + 0 + 1 = 1$

$a = 13$ のとき、$y = x^2 + 13x + 13$ に代入して、$y = (-2)^2 + 13(-2) + 13 = 4 - 26 + 13 = -9$

$a = 1$ のとき、2つの放物線は $y = x^2 + x + 1$ と $y = -2x^2 + x + 1$

$a = 13$ のとき、2つの放物線は $y = x^2 + 13x + 13$ と $y = -2x^2 + x + 1$

2つの放物線が点Aを共有し、共通の接線を持つので、$a = 13$

したがって、点 A の座標は $(-2, -9)$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3$ 、接線の方程式: $y = -3x + 1$

(2) 点Aの座標: $(-2, -9)$