定積分 $\int_{0}^{3} (6x^2 - 4x) dx$ を計算します。

解析学定積分積分不定積分計算
2025/3/26

1. 問題の内容

定積分 03(6x24x)dx\int_{0}^{3} (6x^2 - 4x) dx を計算します。

2. 解き方の手順

まず、6x24x6x^2 - 4x の不定積分を求めます。
(6x24x)dx=6x2dx4xdx=6x334x22+C=2x32x2+C\int (6x^2 - 4x) dx = 6 \int x^2 dx - 4 \int x dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 2x^3 - 2x^2 + C
ここで、CC は積分定数です。
次に、定積分の定義に従い、積分範囲の上端と下端で不定積分の値を計算し、その差を求めます。
03(6x24x)dx=[2x32x2]03=(233232)(203202)=(22729)(00)=5418=36\int_{0}^{3} (6x^2 - 4x) dx = [2x^3 - 2x^2]_{0}^{3} = (2 \cdot 3^3 - 2 \cdot 3^2) - (2 \cdot 0^3 - 2 \cdot 0^2) = (2 \cdot 27 - 2 \cdot 9) - (0 - 0) = 54 - 18 = 36

3. 最終的な答え

36

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