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定積分 $\int_{-2}^{0} (-6x^2 - 2x + 5) dx$ を計算します。

解析学定積分積分積分計算
2025/3/26

1. 問題の内容

定積分 ∫−20(−6x2−2x+5)dx\int_{-2}^{0} (-6x^2 - 2x + 5) dx を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を積分します。
∫(−6x2−2x+5)dx=−6∫x2dx−2∫xdx+5∫dx=−6⋅x33−2⋅x22+5x+C=−2x3−x2+5x+C\int (-6x^2 - 2x + 5) dx = -6 \int x^2 dx - 2 \int x dx + 5 \int dx = -6 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C = -2x^3 - x^2 + 5x + C
ここで、CCは積分定数です。
次に、定積分の定義に従い、求めた原始関数に積分区間の上限と下限を代入し、その差を計算します。
∫−20(−6x2−2x+5)dx=[−2x3−x2+5x]−20\int_{-2}^{0} (-6x^2 - 2x + 5) dx = [-2x^3 - x^2 + 5x]_{-2}^{0}
=(−2(0)3−(0)2+5(0))−(−2(−2)3−(−2)2+5(−2))= (-2(0)^3 - (0)^2 + 5(0)) - (-2(-2)^3 - (-2)^2 + 5(-2))
=0−(−2(−8)−4−10)=0−(16−4−10)=0−(2)=−2= 0 - (-2(-8) - 4 - 10) = 0 - (16 - 4 - 10) = 0 - (2) = -2

3. 最終的な答え

∫−20(−6x2−2x+5)dx=−2\int_{-2}^{0} (-6x^2 - 2x + 5) dx = -2

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