導関数 $F'(x) = 9x^2 - 4x + 5$ と初期条件 $F(1) = 9$ が与えられています。このとき、$F(x)$ を求める問題です。

解析学積分導関数不定積分初期条件
2025/3/26

1. 問題の内容

導関数 F(x)=9x24x+5F'(x) = 9x^2 - 4x + 5 と初期条件 F(1)=9F(1) = 9 が与えられています。このとき、F(x)F(x) を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、F(x)F'(x) を積分して F(x)F(x) を求めます。
F(x)=9x24x+5F'(x) = 9x^2 - 4x + 5 の不定積分は次のようになります。
F(x)=(9x24x+5)dxF(x) = \int (9x^2 - 4x + 5) dx
F(x)=9x2dx4xdx+5dxF(x) = \int 9x^2 dx - \int 4x dx + \int 5 dx
F(x)=9x2dx4xdx+5dxF(x) = 9 \int x^2 dx - 4 \int x dx + 5 \int dx
F(x)=9x334x22+5x+CF(x) = 9 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C
F(x)=3x32x2+5x+CF(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x + C
次に、初期条件 F(1)=9F(1) = 9 を用いて積分定数 CC を求めます。
F(1)=3(1)32(1)2+5(1)+C=9F(1) = 3(1)^3 - 2(1)^2 + 5(1) + C = 9
32+5+C=93 - 2 + 5 + C = 9
6+C=96 + C = 9
C=3C = 3
したがって、F(x)F(x) は次のようになります。
F(x)=3x32x2+5x+3F(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x + 3

3. 最終的な答え

F(x)=3x32x2+5x+3F(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x + 3