$F'(x) = 8x^3 + 3x^2 - 4x + 5$ が与えられており、$F(2) = 17$ である。このとき、$F(x)$ を求める。

1. 問題の内容

$F'(x) = 8x^3 + 3x^2 - 4x + 5$ が与えられており、$F(2) = 17$ である。このとき、$F(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$F'(x)$ を積分して $F(x)$ を求める。

$F(x) = \int F'(x) dx = \int (8x^3 + 3x^2 - 4x + 5) dx$

各項を積分する。

$\int 8x^3 dx = 8 \int x^3 dx = 8 \cdot \frac{x^4}{4} = 2x^4$

$\int 3x^2 dx = 3 \int x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$

$\int -4x dx = -4 \int x dx = -4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2$

$\int 5 dx = 5x$

したがって、

$F(x) = 2x^4 + x^3 - 2x^2 + 5x + C$

ここで、$C$ は積分定数である。

次に、$F(2) = 17$ という条件を用いて $C$ を決定する。

$F(2) = 2(2^4) + (2^3) - 2(2^2) + 5(2) + C = 17$

$2(16) + 8 - 2(4) + 10 + C = 17$

$32 + 8 - 8 + 10 + C = 17$

$42 + C = 17$

$C = 17 - 42 = -25$

したがって、

$F(x) = 2x^4 + x^3 - 2x^2 + 5x - 25$

3. 最終的な答え

$F(x) = 2x^4 + x^3 - 2x^2 + 5x - 25$