導関数 $F'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 2x$ と条件 $F(1) = 5$ が与えられています。このとき、関数 $F(x)$ を求めます。

解析学積分導関数不定積分初期条件関数
2025/3/26

1. 問題の内容

導関数 F(x)=4x3+6x22xF'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 2x と条件 F(1)=5F(1) = 5 が与えられています。このとき、関数 F(x)F(x) を求めます。

2. 解き方の手順

まず、導関数 F(x)F'(x) を積分して F(x)F(x) を求めます。
F(x)=F(x)dx=(4x3+6x22x)dxF(x) = \int F'(x) dx = \int (4x^3 + 6x^2 - 2x) dx
各項を積分します。
4x3dx=x4+C1\int 4x^3 dx = x^4 + C_1
6x2dx=2x3+C2\int 6x^2 dx = 2x^3 + C_2
2xdx=x2+C3\int -2x dx = -x^2 + C_3
したがって、
F(x)=x4+2x3x2+CF(x) = x^4 + 2x^3 - x^2 + C
ここで、CC は積分定数です。
次に、F(1)=5F(1) = 5 という条件を使って、積分定数 CC を求めます。
F(1)=14+2(1)312+C=1+21+C=2+C=5F(1) = 1^4 + 2(1)^3 - 1^2 + C = 1 + 2 - 1 + C = 2 + C = 5
C=52=3C = 5 - 2 = 3
したがって、F(x)=x4+2x3x2+3F(x) = x^4 + 2x^3 - x^2 + 3 となります。

3. 最終的な答え

F(x)=x4+2x3x2+3F(x) = x^4 + 2x^3 - x^2 + 3

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