導関数 $F'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 2x$ と条件 $F(1) = 5$ が与えられています。このとき、関数 $F(x)$ を求めます。

1. 問題の内容

導関数 $F'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 2x$ と条件 $F(1) = 5$ が与えられています。このとき、関数 $F(x)$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、導関数 $F'(x)$ を積分して $F(x)$ を求めます。

$F(x) = \int F'(x) dx = \int (4x^3 + 6x^2 - 2x) dx$

各項を積分します。

$\int 4x^3 dx = x^4 + C_1$

$\int 6x^2 dx = 2x^3 + C_2$

$\int -2x dx = -x^2 + C_3$

したがって、

$F(x) = x^4 + 2x^3 - x^2 + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

次に、$F(1) = 5$ という条件を使って、積分定数 $C$ を求めます。

$F(1) = 1^4 + 2(1)^3 - 1^2 + C = 1 + 2 - 1 + C = 2 + C = 5$

$C = 5 - 2 = 3$

したがって、$F(x) = x^4 + 2x^3 - x^2 + 3$ となります。

3. 最終的な答え

$F(x) = x^4 + 2x^3 - x^2 + 3$