次の不定積分を計算します。 $\int (-3t^2 + 3t + 5x^2 - x) dt$

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

$\int (-3t^2 + 3t + 5x^2 - x) dt$

2. 解き方の手順

不定積分を計算するために、各項ごとに積分を行います。

$\int (-3t^2) dt = -3 \int t^2 dt = -3 \cdot \frac{t^3}{3} = -t^3$

$\int (3t) dt = 3 \int t dt = 3 \cdot \frac{t^2}{2} = \frac{3}{2} t^2$

$5x^2$ と $-x$ は $t$ に関して定数なので、

$\int (5x^2) dt = 5x^2 \int 1 dt = 5x^2 t$

$\int (-x) dt = -x \int 1 dt = -xt$

したがって、

$\int (-3t^2 + 3t + 5x^2 - x) dt = -t^3 + \frac{3}{2}t^2 + 5x^2t - xt + C$

3. 最終的な答え

$-t^3 + \frac{3}{2}t^2 + 5x^2t - xt + C$