(1) $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OP} = -2\vec{a} + \vec{b}$, $\overrightarrow{OQ} = 3\vec{a} - 4\vec{b}$ のとき、$\overrightarrow{PQ} // \overrightarrow{AB}$ であることを示せ。ただし、$\vec{a} \neq \vec{0}$, $\vec{b} \neq \vec{0}$ とする。 (2) $|\vec{a}| = 8$ のとき、$\vec{a}$ と平行で大きさが $2$ であるベクトルを求めよ。

1. 問題の内容

(1) $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OP} = -2\vec{a} + \vec{b}$, $\overrightarrow{OQ} = 3\vec{a} - 4\vec{b}$ のとき、$\overrightarrow{PQ} // \overrightarrow{AB}$ であることを示せ。ただし、$\vec{a} \neq \vec{0}$, $\vec{b} \neq \vec{0}$ とする。

(2) $|\vec{a}| = 8$ のとき、$\vec{a}$ と平行で大きさが $2$ であるベクトルを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{PQ}$ と $\overrightarrow{AB}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表し、$\overrightarrow{PQ} = k\overrightarrow{AB}$ （$k$ は実数）となることを示す。

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = (3\vec{a} - 4\vec{b}) - (-2\vec{a} + \vec{b}) = 5\vec{a} - 5\vec{b} = 5(\vec{a} - \vec{b})$

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \vec{b} - \vec{a} = -(\vec{a} - \vec{b})$

よって、$\overrightarrow{PQ} = -5\overrightarrow{AB}$ となるので、$\overrightarrow{PQ} // \overrightarrow{AB}$ である。

(2) $\vec{a}$ と平行なベクトルは、$k\vec{a}$ ($k$ は実数) と表せる。 大きさが $2$ であるから、$|k\vec{a}| = 2$ でなければならない。

$|k\vec{a}| = |k||\vec{a}| = |k| \cdot 8 = 2$ より、 $|k| = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

したがって、$k = \pm \frac{1}{4}$ である。

求めるベクトルは $\pm \frac{1}{4}\vec{a}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{PQ} // \overrightarrow{AB}$ である (証明終わり)。

(2) $\pm \frac{1}{4}\vec{a}$