$a$ を定数とする。2つの2次方程式 $2x^2 - ax - (2a+2) = 0$ と $x^2 - (a+2)x + (a+7) = 0$ が共通解を1つだけ持つとき、その共通解と $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。2つの2次方程式 $2x^2 - ax - (2a+2) = 0$ と $x^2 - (a+2)x + (a+7) = 0$ が共通解を1つだけ持つとき、その共通解と $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

共通解を $\alpha$ とすると、

$2\alpha^2 - a\alpha - (2a+2) = 0$ … (1)

$\alpha^2 - (a+2)\alpha + (a+7) = 0$ … (2)

(1) - 2 * (2) より

$(2a+4-a)\alpha - (2a+2a+14) = 0$

$(a+4)\alpha - (4a+16) = 0$

$(a+4)\alpha - 4(a+4) = 0$

$(a+4)(\alpha - 4) = 0$

(i) $a = -4$ のとき、

(1) は $2x^2 + 4x + 6 = 0$, つまり $x^2 + 2x + 3 = 0$

(2) は $x^2 + 2x + 3 = 0$

このとき2つの方程式は一致し、共通解は2つとなる。

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2} = -1 \pm i\sqrt{2}$

これは共通解が1つだけという条件に反するので、$a \neq -4$

(ii) $\alpha = 4$ のとき、

(2) に代入して

$4^2 - (a+2)4 + (a+7) = 0$

$16 - 4a - 8 + a + 7 = 0$

$-3a + 15 = 0$

$3a = 15$

$a = 5$

$a = 5$ のとき、

(1) は $2x^2 - 5x - 12 = 0$

$(2x+3)(x-4) = 0$

$x = 4, -\frac{3}{2}$

(2) は $x^2 - 7x + 12 = 0$

$(x-3)(x-4) = 0$

$x = 3, 4$

したがって共通解は $x=4$ のみ。

3. 最終的な答え

共通解は 4 であり、$a$ = 5 である。