命題「$x > 1 \Rightarrow x > 0$」の真偽を調べ、さらに、その逆、裏、対偶をそれぞれ述べ、それらの真偽を調べる。ただし、$x$ は実数とする。

1. 問題の内容

命題「$x > 1 \Rightarrow x > 0$」の真偽を調べ、さらに、その逆、裏、対偶をそれぞれ述べ、それらの真偽を調べる。ただし、$x$ は実数とする。

2. 解き方の手順

(1) 元の命題「$x > 1 \Rightarrow x > 0$」の真偽を調べる。

$x > 1$ ならば必ず $x > 0$ なので、この命題は真である。

(2) 逆を述べる。

逆は、「$x > 0 \Rightarrow x > 1$」である。

$x = 0.5$ のように、$x > 0$ でも $x > 1$ とはならない場合があるので、この命題は偽である。

(3) 裏を述べる。

裏は、「$x \leq 1 \Rightarrow x \leq 0$」である。

$x = 0.5$ のように、$x \leq 1$ でも $x \leq 0$ とはならない場合があるので、この命題は偽である。

(4) 対偶を述べる。

対偶は、「$x \leq 0 \Rightarrow x \leq 1$」である。

$x \leq 0$ ならば必ず $x \leq 1$ なので、この命題は真である。

3. 最終的な答え

元の命題「$x > 1 \Rightarrow x > 0$」：真

逆「$x > 0 \Rightarrow x > 1$」：偽

裏「$x \leq 1 \Rightarrow x \leq 0$」：偽

対偶「$x \leq 0 \Rightarrow x \leq 1$」：真