問題は3つあります。 69.(1) 3進数 $12021_{(3)}$ を10進数で表す。 69.(2) 10進数 $2257$ を8進数で表す。 70.(1) 正八角形の頂点を結んで三角形を作るとき、正八角形と1辺だけを共有する三角形の個数を求める。 70.(2) 正八角形の頂点を結んで三角形を作るとき、正八角形と辺を共有しない三角形の個数を求める。 71. 座標空間における問題。3点 $A(3, 1, 2)$, $B(1, 5, 3)$, $C(2, 3, 5)$ が与えられ、2点 $B, C$ を通る直線 $l$ と、点 $A$ から $l$ に下ろした垂線 $AD$ が定義される。直線 $l$ 上で $B$ から $C$ に向かう単位ベクトル $\vec{e}$ を求め、線分 $BD$ の長さを求める。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

69.(1) 3進数 $12021_{(3)}$ を10進数で表す。

69.(2) 10進数 $2257$ を8進数で表す。

70.(1) 正八角形の頂点を結んで三角形を作るとき、正八角形と1辺だけを共有する三角形の個数を求める。

70.(2) 正八角形の頂点を結んで三角形を作るとき、正八角形と辺を共有しない三角形の個数を求める。

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1. 座標空間における問題。3点 $A(3, 1, 2)$, $B(1, 5, 3)$, $C(2, 3, 5)$ が与えられ、2点 $B, C$ を通る直線 $l$ と、点 $A$ から $l$ に下ろした垂線 $AD$ が定義される。直線 $l$ 上で $B$ から $C$ に向かう単位ベクトル $\vec{e}$ を求め、線分 $BD$ の長さを求める。

2. 解き方の手順

69.(1) 3進数 $12021_{(3)}$ を10進数で表す。

$12021_{(3)} = 1 \times 3^4 + 2 \times 3^3 + 0 \times 3^2 + 2 \times 3^1 + 1 \times 3^0 = 81 + 54 + 0 + 6 + 1 = 142$

69.(2) 10進数 $2257$ を8進数で表す。

$2257 \div 8 = 282$ あまり $1$

$282 \div 8 = 35$ あまり $2$

$35 \div 8 = 4$ あまり $3$

$4 \div 8 = 0$ あまり $4$

よって、$2257 = 4321_{(8)}$

70.(1) 正八角形と1辺だけを共有する三角形の個数を求める。

正八角形の1辺を選ぶ方法は8通り。選んだ辺と共有しない頂点は8-2-2 = 4個。

したがって、8 * 4 = 32個。

70.(2) 正八角形と辺を共有しない三角形の個数を求める。

正八角形の頂点の総数は8個であり、そこから3個選ぶ組み合わせは ${}_8 C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 通り。

1辺を共有する三角形は32個 (70(1)より)。

2辺を共有する三角形は8個。

3辺を共有する三角形は0個。

よって、辺を共有しない三角形の個数は $56 - 32 - 8 = 16$ 個。

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1. $B$ から $C$ に向かうベクトルは $\vec{BC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$。

$|\vec{BC}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$

単位ベクトル $\vec{e} = \frac{1}{3} \vec{BC} = \begin{pmatrix} 1/3 \\ -2/3 \\ 2/3 \end{pmatrix}$

$\vec{BA} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}$

$\vec{BD} = (\vec{BA} \cdot \vec{e}) \vec{e} = \left( \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1/3 \\ -2/3 \\ 2/3 \end{pmatrix} \right) \begin{pmatrix} 1/3 \\ -2/3 \\ 2/3 \end{pmatrix} = \left( \frac{2}{3} + \frac{8}{3} - \frac{2}{3} \right) \begin{pmatrix} 1/3 \\ -2/3 \\ 2/3 \end{pmatrix} = \frac{8}{3} \begin{pmatrix} 1/3 \\ -2/3 \\ 2/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8/9 \\ -16/9 \\ 16/9 \end{pmatrix}$

$|\vec{BD}| = \frac{8}{3} = \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

69.(1) 142

69.(2) $4321_{(8)}$

70.(1) 32

70.(2) 16

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1. $\vec{e} = \begin{pmatrix} 1/3 \\ -2/3 \\ 2/3 \end{pmatrix}$

$|\vec{BD}| = \frac{8}{3}$