多項式の不定積分を求める問題です。具体的には、$\int (3x^4 - 4x^3 - 4x^2 + 5x - 3) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

多項式の不定積分を求める問題です。具体的には、$\int (3x^4 - 4x^3 - 4x^2 + 5x - 3) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

多項式の積分は、各項ごとに積分し、それらを足し合わせることで計算できます。各項の積分は、冪関数の積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし、$n \neq -1$) を用いて計算します。

ここで、$C$ は積分定数です。

1. $\int 3x^4 dx = 3 \int x^4 dx = 3 \cdot \frac{x^5}{5} + C_1 = \frac{3}{5}x^5 + C_1$

2. $\int -4x^3 dx = -4 \int x^3 dx = -4 \cdot \frac{x^4}{4} + C_2 = -x^4 + C_2$

3. $\int -4x^2 dx = -4 \int x^2 dx = -4 \cdot \frac{x^3}{3} + C_3 = -\frac{4}{3}x^3 + C_3$

4. $\int 5x dx = 5 \int x dx = 5 \cdot \frac{x^2}{2} + C_4 = \frac{5}{2}x^2 + C_4$

5. $\int -3 dx = -3 \int 1 dx = -3x + C_5$

これらの結果を足し合わせると、

$\int (3x^4 - 4x^3 - 4x^2 + 5x - 3) dx = \frac{3}{5}x^5 - x^4 - \frac{4}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 3x + C$

ここで、$C = C_1 + C_2 + C_3 + C_4 + C_5$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\frac{3}{5}x^5 - x^4 - \frac{4}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 3x + C$