与えられた積分を計算します。積分は次の通りです。 $\int (5x^4 - 4x^3 - 6x^2 + 3) dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は次の通りです。

$\int (5x^4 - 4x^3 - 6x^2 + 3) dx$

2. 解き方の手順

積分は線形演算なので、各項ごとに積分を計算できます。

つまり、

$\int (5x^4 - 4x^3 - 6x^2 + 3) dx = 5 \int x^4 dx - 4 \int x^3 dx - 6 \int x^2 dx + 3 \int dx$

各項の積分を計算します。

$\int x^4 dx = \frac{x^5}{5} + C_1$

$\int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C_2$

$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C_3$

$\int dx = x + C_4$

これらの結果を元の式に代入します。

$5 \int x^4 dx - 4 \int x^3 dx - 6 \int x^2 dx + 3 \int dx = 5 \cdot \frac{x^5}{5} - 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 6 \cdot \frac{x^3}{3} + 3x + C$

$= x^5 - x^4 - 2x^3 + 3x + C$

3. 最終的な答え

与えられた積分の最終的な答えは次の通りです。

$x^5 - x^4 - 2x^3 + 3x + C$