関数 $y=x^2$ のグラフ上の $x>0$ の範囲において、$x$ 座標が $y$ 座標の2倍となるような点Pの座標を求める問題です。

## 問題33

1. 問題の内容

関数 $y=x^2$ のグラフ上の $x>0$ の範囲において、$x$ 座標が $y$ 座標の2倍となるような点Pの座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

点Pの座標を $(x, y)$ とします。

問題文より、$x$ 座標は $y$ 座標の2倍なので、

$x = 2y$

また、点Pは $y=x^2$ 上の点なので、

$y = x^2$

上記の2つの式から、$x$ と $y$ を求めます。$x = 2y$ を $y = x^2$ に代入して、$y$ についての二次方程式を解きます。

$y = (2y)^2$

$y = 4y^2$

$4y^2 - y = 0$

$y(4y - 1) = 0$

$y = 0, \frac{1}{4}$

$x > 0$ の範囲なので、$y=0$は条件を満たしません。

したがって、$y = \frac{1}{4}$ です。

$x = 2y = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

点Pの座標は $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ です。

## 問題34

1. 問題の内容

関数 $y=x^2$ (グラフ①) と $y=2x+4$ (グラフ②) があります。$x$ 軸上の $x>0$ の範囲に点P($p$, 0)をとり、点Pから $y$ 軸に平行に引いた直線とグラフ①、②の交点をそれぞれA, Bとします。PA = (1/2)PB となるとき、点Pの座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

点Aはグラフ① $y=x^2$ 上にあるので、Aの座標は $(p, p^2)$ と表せます。

点Bはグラフ② $y=2x+4$ 上にあるので、Bの座標は $(p, 2p+4)$ と表せます。

PAは点Pと点Aの $y$ 座標の差なので、$PA = |p^2 - 0| = p^2$ ($p>0$ なので $p^2 > 0$)

PBは点Pと点Bの $y$ 座標の差なので、$PB = |(2p+4) - 0| = 2p+4$ ($p>0$ なので $2p+4 > 0$)

問題文より、$PA = \frac{1}{2}PB$ なので、以下の式が成り立ちます。

$p^2 = \frac{1}{2}(2p+4)$

$p^2 = p + 2$

$p^2 - p - 2 = 0$

$(p-2)(p+1) = 0$

$p = 2, -1$

$x>0$ の範囲なので、$p=2$ です。

3. 最終的な答え

点Pの座標は (2, 0) です。

## 問題35

1. 問題の内容

2乗に比例する関数 $y=ax^2$ について、ア～オの5つのグラフのうち、$a>0$ (すなわち $x$軸の上側にある) となるものを全て答える問題です。

2. 解き方の手順

ア：上に開いた放物線である。上に開いた放物線は $a>0$ なので、条件を満たします。

イ：オのグラフと $x$ 軸について対称である。$x$軸に関して対称であるということは、 $a$ の符号が異なることを意味します。オのグラフが上側にあるなら、イのグラフは下側にあるため、$a>0$ を満たしません。

ウ：エのグラフと $y$ 軸について対称である。$y$ 軸に関して対称でも $a$ の値は変わらないので、エのグラフが下側にあるなら、ウのグラフも下側にあるため、$a>0$ を満たしません。

エ：点 (2, -2) を通る。$y=ax^2$ に (2, -2) を代入すると、$-2 = a(2^2)$ すなわち $-2 = 4a$ となり、$a = -\frac{1}{2}$ なので、$a>0$ を満たしません。

オ：点 (2, 2) を通る。$y=ax^2$ に (2, 2) を代入すると、$2 = a(2^2)$ すなわち $2 = 4a$ となり、$a = \frac{1}{2}$ なので、$a>0$ を満たします。

3. 最終的な答え

アとオです。