与えられた多項式の不定積分を計算します。具体的には、積分 $\int (15x^4 - 8x^3 + 6x^2 - 4x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた多項式の不定積分を計算します。具体的には、積分

$\int (15x^4 - 8x^3 + 6x^2 - 4x) dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

多項式の不定積分は、各項ごとに積分を行い、最後に積分定数 $C$ を加えることで求められます。積分公式

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

を利用します。

まず、各項を個別に積分します。

$\int 15x^4 dx = 15 \int x^4 dx = 15 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = 15 \cdot \frac{x^5}{5} = 3x^5$

$\int -8x^3 dx = -8 \int x^3 dx = -8 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = -8 \cdot \frac{x^4}{4} = -2x^4$

$\int 6x^2 dx = 6 \int x^2 dx = 6 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 6 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3$

$\int -4x dx = -4 \int x dx = -4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = -4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2$

これらの結果を足し合わせ、積分定数 $C$ を加えます。

3. 最終的な答え

$\int (15x^4 - 8x^3 + 6x^2 - 4x) dx = 3x^5 - 2x^4 + 2x^3 - 2x^2 + C$

答え: $3x^5 - 2x^4 + 2x^3 - 2x^2 + C$