不定積分 $\int (-4x + 5) dx$ を計算してください。

解析学積分不定積分一次関数積分定数
2025/3/26

1. 問題の内容

不定積分 (4x+5)dx\int (-4x + 5) dx を計算してください。

2. 解き方の手順

不定積分は、それぞれの項を積分することで計算できます。
まず、4xdx\int -4x dx を計算します。定数倍の性質より、4xdx-4 \int x dx となります。xdx=x22+C1\int x dx = \frac{x^2}{2} + C_1 (ここで、C1C_1は積分定数) なので、
4xdx=4x22+C1=2x2+C1\int -4x dx = -4 \cdot \frac{x^2}{2} + C_1 = -2x^2 + C_1となります。
次に、5dx\int 5 dx を計算します。
5dx=5x+C2\int 5 dx = 5x + C_2 (ここで、C2C_2は積分定数) となります。
最後に、それぞれの結果を足し合わせます。
(4x+5)dx=2x2+5x+C\int (-4x + 5) dx = -2x^2 + 5x + C (ここで、C=C1+C2C = C_1 + C_2は積分定数) となります。

3. 最終的な答え

2x2+5x+C-2x^2 + 5x + C

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