与えられた多項式の不定積分を求めます。 積分する関数は $-10x^4 + 8x^3 + 2x^2 + 5$ です。

1. 問題の内容

与えられた多項式の不定積分を求めます。

積分する関数は $-10x^4 + 8x^3 + 2x^2 + 5$ です。

2. 解き方の手順

多項式の積分は、各項ごとに積分を行うことで計算できます。

それぞれの項の積分は以下の公式を利用します。

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし、$n \neq -1$)

1. $-10x^4$ の積分:

$\int -10x^4 dx = -10 \int x^4 dx = -10 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = -10 \cdot \frac{x^5}{5} = -2x^5$

2. $8x^3$ の積分:

$\int 8x^3 dx = 8 \int x^3 dx = 8 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 8 \cdot \frac{x^4}{4} = 2x^4$

3. $2x^2$ の積分:

$\int 2x^2 dx = 2 \int x^2 dx = 2 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 2 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{2}{3}x^3$

4. $5$ の積分:

$\int 5 dx = 5 \int 1 dx = 5x$

これらを合計し、積分定数 $C$ を加えます。

3. 最終的な答え

$\int (-10x^4 + 8x^3 + 2x^2 + 5) dx = -2x^5 + 2x^4 + \frac{2}{3}x^3 + 5x + C$