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与えられた多項式の不定積分を求めます。問題は次の積分を計算することです。 $\int (-10x^4 + 8x^3 + 2x^2 + 5) dx$

解析学不定積分多項式積分
2025/3/26

1. 問題の内容

与えられた多項式の不定積分を求めます。問題は次の積分を計算することです。
∫(−10x4+8x3+2x2+5)dx\int (-10x^4 + 8x^3 + 2x^2 + 5) dx

2. 解き方の手順

多項式の各項を個別に積分します。積分公式 ∫xndx=xn+1n+1+C\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C を使用します。ここで、CCは積分定数です。
各項を積分すると、以下のようになります。
∫−10x4dx=−10∫x4dx=−10⋅x55=−2x5\int -10x^4 dx = -10 \int x^4 dx = -10 \cdot \frac{x^5}{5} = -2x^5
∫8x3dx=8∫x3dx=8⋅x44=2x4\int 8x^3 dx = 8 \int x^3 dx = 8 \cdot \frac{x^4}{4} = 2x^4
∫2x2dx=2∫x2dx=2⋅x33=23x3\int 2x^2 dx = 2 \int x^2 dx = 2 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{2}{3}x^3
∫5dx=5x\int 5 dx = 5x
これらの項をすべてまとめ、積分定数 CC を加えると、最終的な答えが得られます。

3. 最終的な答え

−2x5+2x4+23x3+5x+C-2x^5 + 2x^4 + \frac{2}{3}x^3 + 5x + C

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