ベクトル $\vec{a} = (2, 2)$ と $\vec{b} = (5, -3)$ が与えられています。ベクトル $\vec{x}$ と $\vec{y}$ が以下の連立方程式を満たすとき、$\vec{x}$ を成分で表す問題です。 \begin{align*} \vec{x} + 4\vec{y} &= \vec{a} \\ \vec{x} - 2\vec{y} &= \vec{b} \end{align*}

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, 2)$ と $\vec{b} = (5, -3)$ が与えられています。ベクトル $\vec{x}$ と $\vec{y}$ が以下の連立方程式を満たすとき、$\vec{x}$ を成分で表す問題です。

\begin{align*}

\vec{x} + 4\vec{y} &= \vec{a} \\

\vec{x} - 2\vec{y} &= \vec{b}

\end{align*}

2. 解き方の手順

まず、連立方程式を解いて $\vec{x}$ と $\vec{y}$ を求めます。

第一式から第二式を引くと、

$(\vec{x} + 4\vec{y}) - (\vec{x} - 2\vec{y}) = \vec{a} - \vec{b}$

$6\vec{y} = \vec{a} - \vec{b}$

$\vec{y} = \frac{1}{6}(\vec{a} - \vec{b})$

$\vec{y} = \frac{1}{6}((2, 2) - (5, -3)) = \frac{1}{6}(2-5, 2-(-3)) = \frac{1}{6}(-3, 5) = (-\frac{1}{2}, \frac{5}{6})$

次に、$\vec{x} = \vec{b} + 2\vec{y}$ より、

$\vec{x} = (5, -3) + 2(-\frac{1}{2}, \frac{5}{6}) = (5, -3) + (-1, \frac{5}{3}) = (5-1, -3+\frac{5}{3}) = (4, -\frac{9}{3}+\frac{5}{3}) = (4, -\frac{4}{3})$

3. 最終的な答え

$\vec{x} = (4, -\frac{4}{3})$