与えられた関数 $y = x^2 - 4x$ のグラフ上の点 $(3, -3)$ における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = x^2 - 4x$ のグラフ上の点 $(3, -3)$ における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、その導関数を求める。

$y = x^2 - 4x$ を微分すると、

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\frac{dy}{dx} = 2x - 4

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次に、点 $(3, -3)$ における接線の傾きを求めるために、$x = 3$ を導関数に代入する。

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\frac{dy}{dx}|_{x=3} = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2

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したがって、接線の傾きは $2$ である。

次に、点 $(3, -3)$ を通り、傾きが $2$ である直線の方程式を求める。直線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で表される。ここで、$(x_1, y_1) = (3, -3)$ であり、$m = 2$ である。

したがって、接線の方程式は次のようになる。

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y - (-3) = 2(x - 3)

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y + 3 = 2x - 6

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y = 2x - 6 - 3

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y = 2x - 9

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3. 最終的な答え

$y = 2x - 9$