複素数 $a, b, c$ が与えられた関係式 $a^2 + b^2 + c^2 = 6$, $a^3 + b^3 + c^3 = 11$, $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ を満たすとき、 (1) $a + b + c$ の値を求める。 (2) $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$ の値を求める。

1. 問題の内容

複素数 $a, b, c$ が与えられた関係式 $a^2 + b^2 + c^2 = 6$, $a^3 + b^3 + c^3 = 11$, $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ を満たすとき、

(1) $a + b + c$ の値を求める。

(2) $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ から $ab + bc + ca = abc$ が得られることを利用する。

$s_1 = a+b+c$, $s_2 = ab+bc+ca$, $s_3 = abc$ とおくと、与えられた条件は

$a^2+b^2+c^2 = 6$, $a^3+b^3+c^3 = 11$, $s_2/s_3 = 1$ より $s_2 = s_3$ である。

$a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca)$ より

$s_1^2 - 2s_2 = 6$

$a^3+b^3+c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ より

$11 - 3s_3 = s_1(6-s_2)$

$11 - 3s_2 = s_1(6-s_2)$

$s_1 s_2 - 3 s_2 = 6 s_1 - 11$

$s_2(s_1 - 3) = 6 s_1 - 11$

$s_1^2 - 2 s_2 = 6$ より $s_2 = \frac{s_1^2 - 6}{2}$

これを $s_2(s_1 - 3) = 6 s_1 - 11$ に代入すると

$\frac{s_1^2 - 6}{2} (s_1 - 3) = 6 s_1 - 11$

$(s_1^2 - 6) (s_1 - 3) = 12 s_1 - 22$

$s_1^3 - 3 s_1^2 - 6 s_1 + 18 = 12 s_1 - 22$

$s_1^3 - 3 s_1^2 - 18 s_1 + 40 = 0$

$(s_1 - 2) (s_1^2 - s_1 - 20) = 0$

$(s_1 - 2) (s_1 - 5) (s_1 + 4) = 0$

したがって、$s_1 = a+b+c = 2, 5, -4$ である。

$a,b,c$ は複素数なので、$a+b+c$ は複素数とは限らない。

もし$a+b+c=2$とすると$s_2=(4-6)/2=-1$, $s_3=-1$

もし$a+b+c=5$とすると$s_2=(25-6)/2=19/2$, $s_3=19/2$

もし$a+b+c=-4$とすると$s_2=(16-6)/2=5$, $s_3=5$

$s_1=a+b+c=2$のとき、$11-3(-1) = 2(6-(-1))$, $14 = 14$となり条件を満たす。

$s_1=a+b+c=5$のとき、$11-3(19/2) = 5(6-(19/2))$, $22-57 = 5(12-19)$, $-35=-35$となり条件を満たす。

$s_1=a+b+c=-4$のとき、$11-3(5) = -4(6-5)$, $-4=-4$となり条件を満たす。

(2) $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^2 - 2 (\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca}) = 1^2 - 2 \frac{a+b+c}{abc} = 1 - 2 \frac{s_1}{s_3}$

$a+b+c = 2$ のとき、$s_1=2, s_3 = -1$ より $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = 1 - 2 \frac{2}{-1} = 1 + 4 = 5$

$a+b+c = 5$ のとき、$s_1=5, s_3 = \frac{19}{2}$ より $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = 1 - 2 \frac{5}{19/2} = 1 - \frac{20}{19} = -\frac{1}{19}$

$a+b+c = -4$ のとき、$s_1=-4, s_3 = 5$ より $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = 1 - 2 \frac{-4}{5} = 1 + \frac{8}{5} = \frac{13}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $a+b+c = 2, 5, -4$

(2) $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = 5, -\frac{1}{19}, \frac{13}{5}$