与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ に対して、$AX = O$ となる2次の正方行列 $X$ を求める問題です。ここで $O$ は2次の零行列を表します。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ に対して、$AX = O$ となる2次の正方行列 $X$ を求める問題です。ここで $O$ は2次の零行列を表します。

2. 解き方の手順

まず、$X$ を一般の2次の正方行列として表します。

$X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ とします。

次に、$AX = O$ を計算します。

$AX = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-c & b-d \\ -a+c & -b+d \end{pmatrix}$

$AX = O$ より、$\begin{pmatrix} a-c & b-d \\ -a+c & -b+d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

したがって、

$a - c = 0$ かつ $b - d = 0$

$-a + c = 0$ かつ $-b + d = 0$

これらの式から、$a = c$ かつ $b = d$ が得られます。

$a$ と $b$ は任意の実数で良いので、$X$ は次のように表すことができます。

$X = \begin{pmatrix} a & b \\ a & b \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$X = \begin{pmatrix} a & b \\ a & b \end{pmatrix}$ (a, b は任意の実数)