与えられた関数 $y = -6x^2 - 9x + 3$ のグラフ上の点 $(-2, -3)$ における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = -6x^2 - 9x + 3$ のグラフ上の点 $(-2, -3)$ における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

ステップ1：与えられた関数を微分して、導関数を求める。

$y' = \frac{dy}{dx} = -12x - 9$

ステップ2：点 $(-2, -3)$ における傾き $m$ を求める。$x = -2$ を導関数に代入する。

$m = y'(-2) = -12(-2) - 9 = 24 - 9 = 15$

ステップ3：点 $(-2, -3)$ を通り、傾きが $15$ の直線の方程式を求める。点傾斜形を用いる。

$y - y_1 = m(x - x_1)$

ここに、$x_1 = -2$, $y_1 = -3$, $m = 15$ を代入する。

$y - (-3) = 15(x - (-2))$

$y + 3 = 15(x + 2)$

$y + 3 = 15x + 30$

$y = 15x + 30 - 3$

$y = 15x + 27$

3. 最終的な答え

$y = 15x + 27$