数列 $\frac{1}{2 \cdot 5}, \frac{1}{5 \cdot 8}, \frac{1}{8 \cdot 11}, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\frac{1}{2 \cdot 5}, \frac{1}{5 \cdot 8}, \frac{1}{8 \cdot 11}, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた数列の第 $k$ 項を $a_k$ とすると、

$$a_k = \frac{1}{(3k-1)(3k+2)}$$

と表せる。部分分数分解を行うと、

$$a_k = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2} \right)$$

となる。したがって、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2} \right) = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2} \right)$$

$$S_n = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right) + \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{11} \right) + \dots + \left( \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right) \right]$$

これはtelescoping sum（隣り合う項が打ち消しあう和）であるから、

$$S_n = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{3n+2 - 2}{2(3n+2)} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{3n}{2(3n+2)} \right)$$

$$S_n = \frac{n}{2(3n+2)}$$

3. 最終的な答え

$\frac{n}{2(3n+2)}$