与えられた実数の整数部分 $a$ と小数部分 $b$ を求める問題です。実数は以下の3つです。 (1) $\sqrt{11}$ (2) $4 + \sqrt{5}$ (3) $6 - \sqrt{7}$

1. 問題の内容

与えられた実数の整数部分 $a$ と小数部分 $b$ を求める問題です。実数は以下の3つです。

(1) $\sqrt{11}$

(2) $4 + \sqrt{5}$

(3) $6 - \sqrt{7}$

2. 解き方の手順

実数の整数部分と小数部分を求めるためには、まず与えられた実数の値がどの整数の間にあるかを見つけます。

(1) $\sqrt{11}$ について

$\sqrt{9} = 3$ であり、 $\sqrt{16} = 4$ であることから、$3 < \sqrt{11} < 4$ とわかります。したがって、$\sqrt{11}$ の整数部分は3です。小数部分は、実数から整数部分を引いたものなので、$\sqrt{11} - 3$ となります。

(2) $4 + \sqrt{5}$ について

$\sqrt{4} = 2$ であり、$\sqrt{9} = 3$ であることから、$2 < \sqrt{5} < 3$ とわかります。したがって、$4 + 2 < 4 + \sqrt{5} < 4 + 3$ となり、$6 < 4 + \sqrt{5} < 7$ となります。よって、$4 + \sqrt{5}$ の整数部分は6です。小数部分は、実数から整数部分を引いたものなので、$4 + \sqrt{5} - 6 = \sqrt{5} - 2$ となります。

(3) $6 - \sqrt{7}$ について

$\sqrt{4} = 2$ であり、$\sqrt{9} = 3$ であることから、$2 < \sqrt{7} < 3$ とわかります。したがって、 $-3 < -\sqrt{7} < -2$ となり、$6 - 3 < 6 - \sqrt{7} < 6 - 2$ すなわち $3 < 6 - \sqrt{7} < 4$となります。よって、$6 - \sqrt{7}$ の整数部分は3です。小数部分は、実数から整数部分を引いたものなので、$6 - \sqrt{7} - 3 = 3 - \sqrt{7}$ となります。しかし、小数部分は0以上1未満である必要があるため、$b=3 - \sqrt{7}$は負の数であるので、整数部分を1小さくして、小数部分を調整します。

整数部分を2とすると、小数部分は$6 - \sqrt{7} - 2 = 4 - \sqrt{7}$ となります。$1 < \sqrt{7} < 3$ より、$1< \sqrt{7} < 2$より、$2 < \sqrt{7} < 3$ より $1 < 4 - \sqrt{7} < 2$ より $4-3 < 4 - \sqrt{7} < 4-2$がわかります。したがって、$1<4-\sqrt{7} < 2$ となり、小数部分が0以上1未満の条件を満たさないので、$b=4 - \sqrt{7}$は誤りです。

$2 < \sqrt{7} < 3$なので、$-3 < -\sqrt{7} < -2$です。

$6-3 < 6-\sqrt{7} < 6-2$

$3 < 6-\sqrt{7} < 4$

整数部分$a=3$

小数部分$b=6-\sqrt{7}-3=3-\sqrt{7}$

$2 < \sqrt{7} < 3$なので、$-3 < -\sqrt{7} < -2$です。

$0 < 3 - \sqrt{7} < 1$なので小数部分は$3 - \sqrt{7}$で正しいです。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{11}$ の整数部分 $a=3$、小数部分 $b=\sqrt{11}-3$

(2) $4 + \sqrt{5}$ の整数部分 $a=6$、小数部分 $b=\sqrt{5}-2$

(3) $6 - \sqrt{7}$ の整数部分 $a=3$、小数部分 $b=3-\sqrt{7}$