自然数をある規則に従って群に分けた数列（群数列）に関する問題です。具体的には、以下の2つの問いに答えます。 (1) 第5群の最初の数と最後の数を求めます。 (2) 第n群に含まれる数の総和を求めます。 各群に含まれる数の個数は $2^{n-1}$ で与えられます。

1. 問題の内容

自然数をある規則に従って群に分けた数列（群数列）に関する問題です。具体的には、以下の2つの問いに答えます。

(1) 第5群の最初の数と最後の数を求めます。

(2) 第n群に含まれる数の総和を求めます。

各群に含まれる数の個数は $2^{n-1}$ で与えられます。

2. 解き方の手順

(1) 第5群の初めの数と終わりの数を求める

まず、第$n$群の最初の数を求めることを考えます。第$n$群の最初の数は、第1群から第$n-1$群までの数の個数の和に1を加えたものです。第$k$群には$2^{k-1}$個の数が含まれるので、第1群から第$n-1$群までの数の個数の和は

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = 1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{n-2}$

これは初項1、公比2の等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = \frac{1(2^{n-1}-1)}{2-1} = 2^{n-1} - 1$

したがって、第$n$群の最初の数は $2^{n-1} - 1 + 1 = 2^{n-1}$ となります。

第5群の最初の数は、$n=5$を代入して $2^{5-1} = 2^4 = 16$ です。

第$n$群に含まれる数の個数は $2^{n-1}$なので、第$n$群の最後の数は、第$n$群の最初の数に $2^{n-1} - 1$ を加えたものになります。

したがって、第$n$群の最後の数は $2^{n-1} + 2^{n-1} - 1 = 2^n - 1$ となります。

第5群の最後の数は、$n=5$を代入して $2^5 - 1 = 32 - 1 = 31$ です。

(2) 第n群に含まれる数の総和を求める

第$n$群に含まれる数は、最初の数が $2^{n-1}$、最後の数が $2^n - 1$ で、個数が $2^{n-1}$ 個の等差数列です。

等差数列の和の公式 $S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ を用いると、

第$n$群に含まれる数の総和は

$S_n = \frac{2^{n-1} (2^{n-1} + 2^n - 1)}{2} = 2^{n-2}(2^{n-1} + 2^n - 1) = 2^{n-2}(2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-1} - 1) = 2^{n-2}(3 \cdot 2^{n-1} - 1) = 3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$

3. 最終的な答え

(1) 第5群の初めの数: 16

第5群の終わりの数: 31

(2) 第n群に含まれる数の総和: $3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$