与えられた漸化式から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。 (1) $a_1 = 4$, $a_{n+1} = a_n + 5$ (2) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n$ (3) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 4^n$

1. 問題の内容

与えられた漸化式から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

(1) $a_1 = 4$, $a_{n+1} = a_n + 5$

(2) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n$

(3) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 4^n$

2. 解き方の手順

(1)

漸化式 $a_{n+1} = a_n + 5$ は、公差が 5 の等差数列を表します。

初項 $a_1 = 4$ より、一般項は

$a_n = a_1 + (n-1)d = 4 + (n-1)5 = 4 + 5n - 5 = 5n - 1$

(2)

漸化式 $a_{n+1} = 3a_n$ は、公比が 3 の等比数列を表します。

初項 $a_1 = 2$ より、一般項は

$a_n = a_1 \cdot r^{n-1} = 2 \cdot 3^{n-1}$

(3)

漸化式 $a_{n+1} = a_n + 4^n$ は、階差数列の問題です。

$a_{n+1} - a_n = 4^n$

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 4^k = 1 + \frac{4(4^{n-1}-1)}{4-1} = 1 + \frac{4^n - 4}{3} = \frac{3 + 4^n - 4}{3} = \frac{4^n - 1}{3}$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{4^1 - 1}{3} = \frac{3}{3} = 1$ なので、この式は $n=1$ でも成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 5n - 1$

(2) $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$

(3) $a_n = \frac{4^n - 1}{3}$