与えられた4つの数 $\log 5$, $0.5$, $\log_{25} 3$, $\log_{125} 5$ を小さい順に並べ替える問題です。

1. 問題の内容

与えられた4つの数 $\log 5$, $0.5$, $\log_{25} 3$, $\log_{125} 5$ を小さい順に並べ替える問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの数を評価しやすい形に変形します。

* $\log 5$ は常用対数であり、$\log 10 = 1$ であるため、$0 < \log 5 < 1$ であることがわかります。具体的には、$\log 5 = \log \frac{10}{2} = \log 10 - \log 2 = 1 - \log 2$です。$\log 2 \approx 0.3010$ より、$\log 5 \approx 0.6990$となります。

* $0.5 = \frac{1}{2}$です。

* $\log_{25} 3 = \frac{\log 3}{\log 25} = \frac{\log 3}{\log 5^2} = \frac{\log 3}{2 \log 5}$です。$\log 3 \approx 0.4771$ より、$\log_{25} 3 \approx \frac{0.4771}{2 \times 0.6990} \approx \frac{0.4771}{1.3980} \approx 0.3413$です。

* $\log_{125} 5 = \frac{\log 5}{\log 125} = \frac{\log 5}{\log 5^3} = \frac{\log 5}{3 \log 5} = \frac{1}{3} \approx 0.3333$です。

それぞれの数のおおよその値が分かったので、小さい順に並べます。

$0.3333 < 0.3413 < 0.5 < 0.6990$より、$\log_{125} 5 < \log_{25} 3 < 0.5 < \log 5$となります。

3. 最終的な答え

$\log_{125} 5, \log_{25} 3, 0.5, \log 5$