次の数を小さい順に並べよ。 $\log_5 0.5$, $\log_{25} 3$, $\log_{125} 5$

1. 問題の内容

次の数を小さい順に並べよ。

$\log_5 0.5$, $\log_{25} 3$, $\log_{125} 5$

2. 解き方の手順

まず、すべての対数の底を5に変換します。

* $\log_5 0.5 = \log_5 \frac{1}{2} = \log_5 2^{-1} = -\log_5 2$

* $\log_{25} 3 = \frac{\log_5 3}{\log_5 25} = \frac{\log_5 3}{\log_5 5^2} = \frac{\log_5 3}{2} = \frac{1}{2} \log_5 3 = \log_5 3^{1/2} = \log_5 \sqrt{3}$

* $\log_{125} 5 = \frac{\log_5 5}{\log_5 125} = \frac{\log_5 5}{\log_5 5^3} = \frac{1}{3}$

したがって、与えられた数は、$-\log_5 2$, $\log_5 \sqrt{3}$, $\frac{1}{3}$ となります。

ここで、$1 < 2 < 5$ より、$0 < \log_5 2 < 1$ となるので、$-\log_5 2$ は負の数です。

また、$1 < 3 < 5$ より、$0 < \sqrt{3} < \sqrt{5}$ なので、$0 < \log_5 \sqrt{3} < \log_5 \sqrt{5} < \log_5 \sqrt{25} = \log_5 5 = 1$となります。

$\sqrt{3} \approx 1.732$ なので、$\log_5 \sqrt{3}$ は正の数で、0と1の間です。

$\frac{1}{3} = \log_5 \sqrt[3]{5}$ なので、$\sqrt[3]{5} \approx 1.709$ より、 $\sqrt{3}$ と $\sqrt[3]{5}$ は近い値であることが分かります。

大体の値を求めるために、$log_5(2)$を評価します。 $5^{0.5} = \sqrt{5} \approx 2.236 > 2$. よって、$\log_5(2) < 0.5$です。したがって、$-\log_5(2) > -0.5$です。

また、$\sqrt{3} \approx 1.732$ より $\log_5 \sqrt{3}$の値を見てみます。$5^{0.3} \approx 1.624 < 1.732$, $5^{0.4} \approx 1.903 > 1.732$. ゆえに $0.3 < \log_5 \sqrt{3} < 0.4$ です。

まとめると、

$-\log_5 2$ は負の数

$\log_5 \sqrt{3}$ は$0.3$と$0.4$の間の値

$\frac{1}{3} \approx 0.333$

したがって、小さい順に並べると、$\log_5 0.5, \log_{125} 5, \log_{25} 3$ となります。

3. 最終的な答え

$\log_5 0.5, \log_{125} 5, \log_{25} 3$