次の数を小さい順に並べる問題です。 $ \log_{3}{2}, \log_{9}{3}, \log_{27}{7} $

1. 問題の内容

次の数を小さい順に並べる問題です。

$\log_{3}{2}, \log_{9}{3}, \log_{27}{7}$

2. 解き方の手順

与えられた対数の底を3に統一します。

まず、$\log_{3}{2}$ はそのままです。

次に、$\log_{9}{3}$ を底の変換公式を使って底を3に変換します。

$\log_{9}{3} = \frac{\log_{3}{3}}{\log_{3}{9}} = \frac{1}{\log_{3}{3^2}} = \frac{1}{2\log_{3}{3}} = \frac{1}{2}$

最後に、$\log_{27}{7}$ を底の変換公式を使って底を3に変換します。

$\log_{27}{7} = \frac{\log_{3}{7}}{\log_{3}{27}} = \frac{\log_{3}{7}}{\log_{3}{3^3}} = \frac{\log_{3}{7}}{3} = \frac{1}{3}\log_{3}{7} = \log_{3}{7^{\frac{1}{3}}} = \log_{3}{\sqrt[3]{7}}$

したがって、並べる数は $\log_{3}{2}, \frac{1}{2}, \log_{3}{\sqrt[3]{7}}$ となります。

$\frac{1}{2} = \log_{3}{\sqrt{3}}$ であることを利用すると、 $\log_{3}{2}, \log_{3}{\sqrt{3}}, \log_{3}{\sqrt[3]{7}}$ を比較することになります。

ここで、$2, \sqrt{3}, \sqrt[3]{7}$ の大小関係を調べます。

$2 = \sqrt[6]{2^6} = \sqrt[6]{64}$

$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6]{27}$

$\sqrt[3]{7} = 7^{\frac{1}{3}} = \sqrt[6]{7^2} = \sqrt[6]{49}$

したがって、$\sqrt{3} < \sqrt[3]{7} < 2$ となります。

よって、$\log_{3}{\sqrt{3}} < \log_{3}{\sqrt[3]{7}} < \log_{3}{2}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$\log_{9}{3}, \log_{27}{7}, \log_{3}{2}$