$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、方程式 $\sqrt{2} \cos^2 \theta + 3 \cos \theta + \sqrt{2} = 0$ を解く。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、方程式 $\sqrt{2} \cos^2 \theta + 3 \cos \theta + \sqrt{2} = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

$\cos \theta = x$ とおく。このとき、与えられた方程式は

$$\sqrt{2} x^2 + 3x + \sqrt{2} = 0$$

と書き換えられる。

これを因数分解すると

$$(\sqrt{2}x + 1)(x + \sqrt{2}) = 0$$

よって、

$$\sqrt{2}x + 1 = 0 \quad \text{または} \quad x + \sqrt{2} = 0$$

$$\sqrt{2}x = -1 \quad \text{または} \quad x = -\sqrt{2}$$

$$x = -\frac{1}{\sqrt{2}} \quad \text{または} \quad x = -\sqrt{2}$$

$\cos \theta = x$ であり、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ であるから、$-1 \le \cos \theta \le 1$ である。

したがって、

$$x = -\frac{1}{\sqrt{2}} \quad \text{つまり} \quad \cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$$

$$\theta = 135^\circ$$

$x = -\sqrt{2}$ は $-1 \le \cos \theta \le 1$ を満たさないため、解としては不適である。

3. 最終的な答え

$\theta = 135^\circ$