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与えられた不等式 $|2x - 4| \le x$ を満たす $x$ の範囲を求めます。

代数学絶対値不等式場合分け
2025/6/25

1. 問題の内容

与えられた不等式 ∣2x−4∣≤x|2x - 4| \le x を満たす xx の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式を解くためには、絶対値の中身の符号で場合分けを行います。
場合1: 2x−4≥02x - 4 \ge 0 のとき、つまり x≥2x \ge 2 のとき。
このとき、∣2x−4∣=2x−4|2x - 4| = 2x - 4 なので、不等式は 2x−4≤x2x - 4 \le x となります。
これを解くと、x≤4x \le 4 となります。
したがって、x≥2x \ge 2 かつ x≤4x \le 4 より、2≤x≤42 \le x \le 4 が得られます。
場合2: 2x−4<02x - 4 < 0 のとき、つまり x<2x < 2 のとき。
このとき、∣2x−4∣=−(2x−4)=−2x+4|2x - 4| = -(2x - 4) = -2x + 4 なので、不等式は −2x+4≤x-2x + 4 \le x となります。
これを解くと、3x≥43x \ge 4 より、x≥43x \ge \frac{4}{3} となります。
したがって、x<2x < 2 かつ x≥43x \ge \frac{4}{3} より、43≤x<2\frac{4}{3} \le x < 2 が得られます。
場合1と場合2を合わせると、43≤x≤4\frac{4}{3} \le x \le 4 となります。

3. 最終的な答え

43≤x≤4\frac{4}{3} \le x \le 4

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