$\frac{11}{5-\sqrt{3}}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき, $a, b, \frac{a}{b(b+1)}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\frac{11}{5-\sqrt{3}}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき, $a, b, \frac{a}{b(b+1)}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず, $\frac{11}{5-\sqrt{3}}$ を有理化します。

$\frac{11}{5-\sqrt{3}} = \frac{11(5+\sqrt{3})}{(5-\sqrt{3})(5+\sqrt{3})} = \frac{11(5+\sqrt{3})}{25-3} = \frac{11(5+\sqrt{3})}{22} = \frac{5+\sqrt{3}}{2}$

$\sqrt{3}$ は $1<\sqrt{3}<2$ を満たすので, $1.732...$ 程度です。したがって,

$\frac{5+\sqrt{3}}{2} \approx \frac{5+1.732}{2} = \frac{6.732}{2} = 3.366$

よって, 整数部分 $a$ は 3 です。

$a=3$

小数部分 $b$ は, $\frac{5+\sqrt{3}}{2} - a$ で求められます。

$b = \frac{5+\sqrt{3}}{2} - 3 = \frac{5+\sqrt{3} - 6}{2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$

ここで、$b = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$ を変形します。

$b = \frac{\sqrt{3}-1}{2} = \sqrt{\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{4}} = \sqrt{\frac{3-2\sqrt{3}+1}{4}} = \sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{4}} = \sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{4}}$

$b=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$のまま$\frac{a}{b(b+1)}$に代入すると計算が大変なので、別の方法で$b$を計算する。

$b = \frac{5+\sqrt{3}}{2} - a = \frac{5+\sqrt{3}}{2} - 3 = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$。

$b^2 = (\frac{\sqrt{3}-1}{2})^2 = \frac{3-2\sqrt{3}+1}{4} = \frac{4-2\sqrt{3}}{4} = 1-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$b+1 = \frac{\sqrt{3}-1}{2}+1 = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$

$b(b+1) = \frac{\sqrt{3}-1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{2} = \frac{3-1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\frac{a}{b(b+1)} = \frac{3}{1/2} = 6$

3. 最終的な答え

$a=3$

$b=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

$\frac{a}{b(b+1)}=6$