(1) $3^4$ および $\sqrt[3]{216}$ の値を求める。 (2) $\sqrt{a^2} \times \sqrt[4]{a^3} \div \sqrt{a}$ を計算し、$a^{\frac{45}{12}}$ の形にする。 (3) 方程式 $4^x - 2^x - 2 = 0$ を解く。

1. 問題の内容

(1) $3^4$ および $\sqrt[3]{216}$ の値を求める。

(2) $\sqrt{a^2} \times \sqrt[4]{a^3} \div \sqrt{a}$ を計算し、$a^{\frac{45}{12}}$ の形にする。

(3) 方程式 $4^x - 2^x - 2 = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

(1)

* $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$

* $\sqrt[3]{216}$ は3乗して216になる数を探す。$6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216$ であるから、$\sqrt[3]{216} = 6$

(2)

$a>0$ より、

$\sqrt{a^2} = a$

$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[4]{a^3} = a^{\frac{3}{4}}$

よって、

$\sqrt{a^2} \times \sqrt[4]{a^3} \div \sqrt{a} = a \times a^{\frac{3}{4}} \div a^{\frac{1}{2}} = a^{1 + \frac{3}{4} - \frac{1}{2}} = a^{\frac{4}{4} + \frac{3}{4} - \frac{2}{4}} = a^{\frac{5}{4}}$

$\sqrt{a^2} \times \sqrt[4]{a^3} \div \sqrt{a} = a^{\frac{5}{4}} = a^{\frac{15}{12}}$

(3)

$4^x - 2^x - 2 = 0$

$(2^x)^2 - 2^x - 2 = 0$

$2^x = t$ とおくと、$t^2 - t - 2 = 0$

$(t-2)(t+1) = 0$

$t = 2, -1$

$2^x = 2$ または $2^x = -1$

$2^x = 2$ より $x = 1$

$2^x = -1$ となる実数$x$は存在しない。

3. 最終的な答え

(1)

* $3^4 = 81$

* $\sqrt[3]{216} = 6$

(2)

* $\sqrt{a^2} \times \sqrt[4]{a^3} \div \sqrt{a} = a^{\frac{15}{12}}$

(3)

* $x = 1$