$a > 0$ かつ $a - \frac{2}{a} = 4$ のとき、以下の式の値を求める問題です。 (1) $a^2 + \frac{4}{a^2}$ (2) $a + \frac{2}{a}$ (3) $a^3 - a^2 + \frac{4}{a^2} - \frac{8}{a^3}$

1. 問題の内容

$a > 0$ かつ $a - \frac{2}{a} = 4$ のとき、以下の式の値を求める問題です。

(1) $a^2 + \frac{4}{a^2}$

(2) $a + \frac{2}{a}$

(3) $a^3 - a^2 + \frac{4}{a^2} - \frac{8}{a^3}$

2. 解き方の手順

(1) $a^2 + \frac{4}{a^2}$ を求める。

与えられた式 $a - \frac{2}{a} = 4$ の両辺を2乗します。

$(a - \frac{2}{a})^2 = 4^2$

$a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{2}{a} + \frac{4}{a^2} = 16$

$a^2 - 4 + \frac{4}{a^2} = 16$

$a^2 + \frac{4}{a^2} = 16 + 4 = 20$

(2) $a + \frac{2}{a}$ を求める。

$(a + \frac{2}{a})^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{2}{a} + \frac{4}{a^2} = a^2 + 4 + \frac{4}{a^2}$

(1)の結果より、$a^2 + \frac{4}{a^2} = 20$ であるから、

$(a + \frac{2}{a})^2 = 20 + 4 = 24$

$a > 0$ より、$a + \frac{2}{a} > 0$ であるため、

$a + \frac{2}{a} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

(3) $a^3 - a^2 + \frac{4}{a^2} - \frac{8}{a^3}$ を求める。

$a^3 - a^2 + \frac{4}{a^2} - \frac{8}{a^3} = (a^3 - \frac{8}{a^3}) - (a^2 - \frac{4}{a^2})$

まず、$a^3 - \frac{8}{a^3}$ を計算します。

$a - \frac{2}{a} = 4$ より、両辺を3乗すると

$(a - \frac{2}{a})^3 = 4^3$

$a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot \frac{2}{a} + 3 \cdot a \cdot (\frac{2}{a})^2 - (\frac{2}{a})^3 = 64$

$a^3 - 6a + \frac{12}{a} - \frac{8}{a^3} = 64$

$a^3 - \frac{8}{a^3} = 64 + 6a - \frac{12}{a} = 64 + 6(a - \frac{2}{a}) = 64 + 6 \cdot 4 = 64 + 24 = 88$

次に、$a^2 - \frac{4}{a^2}$ を計算します。

$(a - \frac{2}{a})(a + \frac{2}{a}) = a^2 - \frac{4}{a^2}$

$a - \frac{2}{a} = 4$ および $a + \frac{2}{a} = 2\sqrt{6}$ を代入すると

$a^2 - \frac{4}{a^2} = 4 \cdot 2\sqrt{6} = 8\sqrt{6}$

したがって、

$a^3 - a^2 + \frac{4}{a^2} - \frac{8}{a^3} = (a^3 - \frac{8}{a^3}) - (a^2 - \frac{4}{a^2}) = 88 - 8\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $a^2 + \frac{4}{a^2} = 20$

(2) $a + \frac{2}{a} = 2\sqrt{6}$

(3) $a^3 - a^2 + \frac{4}{a^2} - \frac{8}{a^3} = 88 - 8\sqrt{6}$