2次関数 $y = mx^2 + (m+1)x + m$ において、$y$ の値が常に正となるような定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = mx^2 + (m+1)x + m$ において、$y$ の値が常に正となるような定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = mx^2 + (m+1)x + m$ の値が常に正であるためには、以下の2つの条件が必要となる。

* $m > 0$ (放物線が下に凸であること)

* 判別式 $D < 0$ ($x$軸と交わらないこと)

判別式 $D$ は次のように計算できる。

$D = (m+1)^2 - 4m^2 = m^2 + 2m + 1 - 4m^2 = -3m^2 + 2m + 1$

$D < 0$ であるためには、

$-3m^2 + 2m + 1 < 0$

$3m^2 - 2m - 1 > 0$

$(3m + 1)(m - 1) > 0$

したがって、$m < -\frac{1}{3}$ または $m > 1$ である。

条件 $m > 0$ と $m < -\frac{1}{3}$ または $m > 1$ を同時に満たすのは、$m > 1$ の場合のみである。

3. 最終的な答え

$m > 1$