直線 $l: x + 2y - 1 = 0$ と点 $A(3, 4)$ との距離を求め、その値を用いて、直線 $l$ 上の2点 $B(-1, 1)$ と $C(7, -3)$ について三角形 $ABC$ の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $l: x + 2y - 1 = 0$ と点 $A(3, 4)$ との距離を求め、その値を用いて、直線 $l$ 上の2点 $B(-1, 1)$ と $C(7, -3)$ について三角形 $ABC$ の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1：直線と点の距離を求める。

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は次の式で計算できます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

この問題では、点 $A(3, 4)$ と直線 $l: x + 2y - 1 = 0$ なので、$x_0 = 3$, $y_0 = 4$, $a = 1$, $b = 2$, $c = -1$ を代入します。

$d = \frac{|1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 - 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|3 + 8 - 1|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}$

ステップ2：三角形の面積を求める。

三角形の面積は、ベクトルを用いて計算できます。

点 $B(-1, 1)$ と点 $C(7, -3)$ からベクトル $\vec{BC}$ を求めます。

$\vec{BC} = \begin{pmatrix} 7 - (-1) \\ -3 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \end{pmatrix}$

$\vec{BC}$ の長さを求めます。

$|\vec{BC}| = \sqrt{8^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$

$|\vec{BC}|$ は線分 $BC$ の長さに相当します。

直線 $l$ と点 $A$ の距離は、三角形 $ABC$ における線分 $BC$ を底辺としたときの高さに相当します。

したがって、三角形 $ABC$ の面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2} \cdot |\vec{BC}| \cdot d = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} = 4 \cdot 5 = 20$

3. 最終的な答え

直線 $l: x + 2y - 1 = 0$ と点 $A(3, 4)$ との距離は $2\sqrt{5}$ である。

三角形 $ABC$ の面積は $20$ である。